Programa

De MAT022 Casa Central 2012-2
Revisión a fecha de 20:06 11 oct 2012; Rvt (Discusión | contribuciones)
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Resumen


Asignatura : Matemática
Sigla : Mat022
Créditos : 5
Prerrequisito : Mat021
Hrs. Cátedra : 8
Hrs. Ayudantías : 2
Hrs. Taller : 0


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Objetivos


Al aprobar el curso, el alumno será capaz de utilizar lenguaje, conceptos y técnicas propias del cálculo integral y del álgebra lineal que le permitirán enfrentar problemas provenientes de los ámbitos físicos, ingenieriles, económicos u otros.

Resumen de Contenidos


  1. La integral: Noción de área, la integral definida, el teorema fundamental del cálculo integral, técnicas de integración. Aplicaciones: Áreas entre curvas, métodos numéricos de integración.
  2. Aplicaciones geométricas y físicas: Longitud de arco, volúmenes de sólidos, área de superficie de revolución, momentos y centros de masa, fuerza, presión y trabajo. Integrales impropias.
  3. Coordenadas especiales: Coordenadas paramétricas, coordenadas polares, áreas y longitudes en coordenadas paramétricas y polares. Aplicaciones
  4. Sucesiones y Series: Sucesiones infinitas, series infinitas, criterios de convergencia: criterio de comparación, criterio del cociente y de la raíz. Series de potencias, representación de funciones por series de potencia, series de Taylor, Maclaurin y binomial.
  5. Sistemas de ecuaciones lineales: Matrices, álgebra de Matrices, transpuesta, inversas, matrices elementales, determinantes y sus propiedades, rango, resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
  6. Espacios Vectoriales: Vectores en R² y R³, producto punto, cruz, mixto y proyecciones, rectas y planos. Espacios Vectoriales, subespacios, combinación lineal y espacio generado, dependencia e independencia lineal, bases, dimensión y aplicaciones.
  7. Secciones cónicas: Cónicas centradas, traslación y rotación, cónicas en coordenadas polares.


Bibliografía


  1. STEIN, S., BARCELLOS, A. Cálculo y Geometría Analítica”, Editorial McGraw-Hill 1995.
  2. WILLIAMS, GARETH. ”Álgebra lineal con aplicaciones”. Cuarta edición, Editorial McGraw-Hill.
  3. STEWART, J. CÁLCULO”, Grupo Editorial Iberoamérica, 1994
  4. GROSSMAN, S. ”Álgebra lineal”, Sexta edición, Editorial McGraw-Hill.


Metodología


  1. Clases expositivas combinadas con técnicas de aprendizaje cooperativo.
  2. Guías de ejercicios con apuntes del Departamento de Matemática y uso de software adecuado.


Evaluaciones


Fechas evaluaciones

Detalle de los contenidos


Parte de Cálculo:


  1. La diferencial y sus propiedades
  2. Antiderivada: Noción y aplicaciones. Propiedades de la Antiderivada.
  3. Cálculo de Antiderivadas. Cálculo por Sustitución. Integración por partes. Problemas con funciones definidas por tramos.
  4. Problemas con valor inicial. Ley de Newton, crecimiento de población, otras.
  5. Integral de Riemann. Propiedades. Criterios de Integrabilidad (monótona implica integrable) (Continua Implica Integrable).
  6. Integral indefinida. Teorema Fundamental del Cálculo.
  7. Revisión de integración por sustitución y Aplicaciones. Integración por Partes (ambas en integrales definidas).
  8. Área bajo la curva. Área entre curvas.
  9. Funciones Trascendentes: Función logaritmo natural y exponencial. Propiedades algebraicas y analíticas.
  10. Funciones hiperbólicas. Propiedades. Derivadas e integrales de funciones hiperbólicas.
  11. Técnicas de Integración: Fracciones Parciales.
  12. Sustituciones trigonométricas. Sustitución “z = tan(x/2)”.
  13. Integrales Impropias de primera especie. La integral “p”. Criterios de convergencia.
  14. Integrales Impropias de segunda especie. Criterios de convergencia.
  15. Teoremas de convergencia para ambos casos (teorema de comparación y comparación al límite) e integrales impropias mixtas.
  16. Coordenadas polares: Gráfica de curvas. Cálculo de áreas en coordenadas polares.
  17. Cálculo de áreas en coordenadas paramétricas.
  18. Longitud de arco en todas las coordenadas. Ejemplos.
  19. Volúmenes de sólidos de revolución: Método de los discos y método del anillo.
  20. Volúmenes por secciones transversales conocidas. Áreas de superficies en revolución (en todas las coordenadas).
  21. Aplicaciones físicas: Momento, centro de masa, centroide. Momento de inercia.
  22. Teorema de Pappus.
  23. Fuerza, trabajo, presión de fluidos.


Parte de Complemento de Cálculo:


  1. Matrices. Álgebra Básica de Matrices
  2. Tipos (básicos) de matriz: simétrica, antisimétrica, diagonal, invertible. Transpuesta de una matriz.
  3. Matrices y operaciones elementales.
  4. Notación matricial de sistemas de ecuaciones Lineales. Resolución de sistemas de ecuaciones Lineales por eliminación gaussiana.
  5. Inversa. Cálculo de inversa por operaciones elementales.
  6. Determinantes, propiedades.
  7. Inversa por menores. Regla de Cramer.
  8. Vectores en R² y R³. Operaciones: Suma, producto por escalar y su representación Geométrica. Producto punto, cruz y mixto. Aplicaciones.
  9. Proyecciones.
  10. Rectas y planos en R³.
  11. Espacios vectoriales: Definición y ejemplos.
  12. Subespacios Vectoriales: Concepto y criterio. Combinación lineal.
  13. Espacio generado. Dependencia e independencia lineal.
  14. Bases y bases canónicas. Dimensión. Aplicaciones.
  15. Valores y vectores propios de una matriz. Espacio propio asociado.
  16. Criterios de diagonalización.
  17. Aplicación a obtención de forma canónica de formas cuadráticas (secciones cónicas rotadas).
  18. Sucesiones, límites de sucesiones, teoremas de convergencia.
  19. Series numéricas. Series Geométricas. Convergencia de una serie.
  20. Criterio de comparación. Criterio de comparación al límite.
  21. Series alternadas, teorema de Leibnitz. Estimación de error: criterio de truncamiento para series alternadas.
  22. Series de potencias: radio e intervalo de convergencia.
  23. Derivación e integración de series de potencias.
  24. Series de Taylor: seno, coseno, exponencial, etc. Cálculo de series de Taylor para funciones elementales.
  25. Teorema de Taylor con resto. Estimación de error. Aplicaciones al cálculo de integrales.
  26. Ejercicios de series de Taylor y estimación de error. Serie Binomial.


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